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L'équation du millénaire

L'équation du millénaire

Mercredi 12 mars 2014 Amphithéâtre Becquerel, Ecole Polytechnique, Palaiseau.

Coordination scientifique :

Compte-rendu du séminaire

Introduction

Après ”CAID 2014” Calcul Intensif Distribué pour l'Industrie, la saison Aristote 2014 vous propose une conférence sur les équations de Navier-Stokes, la première d'un cycle de 3 conférences, qui se termine par “Accréditation des résultats de la Recherche”, en interpolant par “Reduced Order of Complexity & Reduced Order of Model”.

Les équations de Navier-Stokes constituent un des problèmes du Clay Mathematics Institute Millennium Prize, qui n'a pas encore obtenu de réponse satisfaisante, et ce malgré le foisonnement des formulations, simulations numériques ou expérimentales, et applications, mobilisant ainsi des légions de physiciens, mathématiciens et informaticiens.

Pourquoi nous résistent-elles à ce point? Alors qu'elles sont omniprésentes et gouvernent notre vie de tous les jours, de la prévision du climat, pour nos récoltes, nos loisirs, à la conception des moyens de transport, avion, voiture, bateau, en passant par l'étude des ouvrages tels que bâtiments, ponts. Lors de ce séminaire, plusieurs regards éclaireront notre connaissance, avec la participation d'acteurs de divers horizons.

Programme et présentations

08:45-09:15 Accueil café

09:15-09:30 Ouverture

  • Patrick Le Quéré (Ecole Polytechnique)
  • Philippe d'Anfray (Aristote, CEA)

09:30-10:45 Animateur de session: Roland Sénéor

10:45-11:15 Pause café

11:25-12:30 (cont.)

12:30-13:45 Buffet

13:45-15:45 Animateur de session: Christian Tenaud

  • Frédéric Chalot (Dassault-Aviation) “Quelques exemples de résolutions des Équations de Navier-Stokes dans l'industrie aéronautique”

15:45-16:00 Pause

16:00-18:00 Animateur de session: Thiên-Hiêp Lê

  • Frédéric Magoulès (École Centrale Paris) “Ecouter Le Passé”

18:00 Fin du séminaire


………………..Dédicacé par Gaël !!………………..


Résumés des présentations

Isabelle Gallagher (Univ. Paris-Diderot) Enjeux et difficultés mathématiques pour la résolution des équations de Navier-Stokes

Nous expliquerons la formulation des équations de Navier-Stokes ainsi que leurs principales caractéristiques, et nous essaierons de mettre en évidence les difficultés mathématiques liées à leur résolution. En particulier nous expliquerons en quoi la conservation de l'énergie a permis à Jean Leray d'obtenir en 1934 un théorème d'existence de solutions “turbulentes” pour tout temps, mais que cette seule conservation semble insuffisante pour garantir l'unicité de telles solutions en général. Nous décrirons également quelques progrès très récents dans la résolution de cette question.

Thomas Dubos (LMD-École Polytechnique) Principes variationnels pour les écoulements atmosphériques

L'écoulement atmosphérique obéit-il aux équations de Navier-Stokes ? Dès que la météorologie s'est définie, à la fin du XIXè siècle, comme une science physique et mécanique, elle a cherché à simplifier pour ses besoins les équations de Navier-Stokes. En effet l'écoulement atmosphérique se situe dans un régime particulier car, bien que le nombre de Mach soit petit, la gravité impose de fortes variations de densité. Cette simplification obéit à deux logiques, l'une opérationnelle visant à produire des solutions à ces équations, l'autre réductionniste visant à réduire ces équations à la plus simple expression permettant d'expliquer des phénomènes. Il s'en est ensuivi une abondance de systèmes approchés, adaptés à différentes échelles de temps et d'espace, formant une hiérarchie dont les équations de Navier-Stokes sont le sommet.

Tous ces systèmes approchés ont en commun des lois de conservation analogues à celles des équations de Navier-Stokes, qui sont autant de contraintes qui limitent les états physiquement accessibles à l'écoulement et qui structurent ce dernier. Dans mon exposé, je montrerai comment les principes variationnels de la mécanique classique (principe de moindre action) permettent de formuler de façon concise et unifiée la plupart de ces systèmes approchés, ou du moins leur partie non-visqueuse. Les lois de conservation résultent alors de symétries de l'action. Ces formulations font souvent apparaître des contraintes (multiplicateurs de Lagrange) ayant pour effet d'éliminer la partie acoustique de l'écoulement, au prix de l'introduction de problèmes elliptiques. Je montrerai également comment cette approche permet de réintroduire de façon économe des effets souvent négligés comme les effets de Coriolis dits non-traditionnels, ou d'étendre le domaine de validité d'approximations classiques comme l'approximation hydrostatique. Paradoxalement, il en ressort que les degrés de liberté de l'écoulement atmosphérique sont, pour l'essentiel, ceux d'un écoulement incompressible.

Paul Manneville (Ecole Polytechnique) Écoulements de paroi: Comment comprendre leur transition vers la turbulence?

La transition vers la turbulence est généralement interprétée comme le résultat d'une cascade d'instabilités qui font progressivement passer d'une dynamique régulière (laminaire) à une dynamique irrégulière (turbulente) dont le caractère aléatoire est de nature chaotique, analysé d'un point de vue abstrait dans l'espace des états du système considéré (divergence de trajectoires issues de conditions voisines). Les écoulements de paroi subissent au contraire le plus souvent une transition directe, sans intermédiaire, marquée par la coexistence dans l'espace physique de domaines laminaires et turbulents. J'évoquerai les résultats obtenus récemment sur deux systèmes emblématiques, l'écoulement de Hagen-Poiseuille dans un tube cylindrique déjà considéré par Reynolds (1883) et l'écoulement de cisaillement simple entre deux plaques parallèles, montrant les progrès réalisés en combinant la théorie des systèmes dynamiques et la physique statistique pour rendre compte de ce régime intermédiaire de coexistence.

Pierre-Yves Lagree (CNRS-UPMC - Institut Jean le Rond d'Alembert) Écoulements granulaires, du grain à la description Navier Stokes continue

Le sable, le gravier, les roches, mais aussi les céréales, le sucre… sont des exemples de matériaux granulaires. Constitués de millions de petits grains de forme quasi-identique, ils se comportent macroscopiquement comme un objet “solide”, mais peuvent “couler” comme un “fluide liquide” et même un “fluide gazeux”. Le nombre de grains étant grand mais bien inférieur au nombre d'Avogadro, comme pour l'eau ou l'air, on peut calculer par simulation numérique (dynamique de contact) le mouvement de chacun de ces milliers de grains s’entrechoquant. Récemment (GDR Midi 2004), dans le cadre d'une approche de type milieu continu une rhéologie (frictionnelle de type Coulomb) appelée μ(I) a été proposée, elle a permis de mieux interpréter de nombreux phénomènes granulaires. Nous présenterons cette approche et des simulations numériques de l'équation de Navier Stokes avec cette rhéologie comparées aux expériences et aux simulations directes d'ensembles de grains. Nous examinerons et analyserons des cas d'avalanches, d'effondrements de tas, d'écoulements de sablier…



Une simulation Navier Stokes (traits rouges) et une simulation en dynamique de contact (grains gris et noir) d'un tas de grains s'effondrant

Irène Vignon-Clémentel (Inria) Écoulements sang/air: aspects multiéchelles et applicatifs

Le sang et l'air circulent à travers une architecture des plus grands aux plus petits conduits, faite pour assurer les fonctions vitales de notre corps. Simuler numériquement ces écoulements permet de mieux comprendre certains dérèglements, dans le but de mieux y pallier…

Au cours de cette exposé, on évoquera quelques challenges engendrés par de telles simulations (complexité des écoulements et donc des calculs, paramétrage des modèles à partir de données patients, etc.). Plusieurs applications multi-échelles et multi-physiques seront présentées en lien avec des maladies cardiovasculaires, respiratoires, cancers et design de dispositifs médicaux.

Michel Visonneau (ECN/CNRS) La résolution des équations de Navier-Stokes pour l'hydrodynamique. Développements récents et perspectives

Cette conférence est consacrée à la présentation des principaux défis posés par la résolution des équations de Navier-Stokes dans le domaine de l'hydrodynamique navale en termes de modélisation physique et de discrétisation numérique. De nombreuses illustrations et comparaisons à des bases de donnée expérimentales permettront d'illustrer les apports fondamentaux de la modélisation numérique conduisant à une meilleure compréhension des écoulements turbulents à surface libre. Enfin, on évoquera les perspectives de recherche les plus prometteuses permettant d'étendre le champ d'application de la modélisation numérique des équations de Navier-Stokes à de nouvelles problématiques physiques caractéristiques du domaine marin.

Éric Garnier (ONERA/DAAP) La régularisation des équations de Navier-Stokes en pratique, application à l'aérodynamique

La turbulence joue un rôle fondamental dans les applications à l'aérodynamique. Dans de nombreux cas où une description statistique de celle-ci n'est pas possible, il est nécessaire de réaliser des simulations instationnaires et de régulariser l'écoulement en supprimant les plus petites échelles dont la description n'a pas d'intérêt pratique. Pour ce faire, la simulation des grandes échelles offre un cadre théorique assez abouti basé sur la notion de filtre en espace. Néanmoins, en pratique, la notion de filtrage explicite est rapidement abandonnée et la prise en compte des petites échelles se fait via un modèle de viscosité dit de sous-maille. Par ailleurs, le schéma pour la discrétisation des dérivés en espace introduit une autre forme filtrage qui entre un compétition avec le premier. Une fois ce cadre établit, il sera discuté de la pertinence des méthodes réellement utilisées pour la simulation des grandes échelles en aérodynamique.

Frédéric Chalot (Dassault-Aviation) Quelques exemples de résolutions des Équations de Navier-Stokes dans l'industrie aéronautique

La simulation numérique des équations de Navier-Stokes, pour les applications aérodynamiques, est au cœur des processus de design de Dassault Aviation, notamment pour les avions d’affaires Falcon. La combinaison d’une modélisation fine de la physique des écoulements et d’une puissance informatique élevée a permis ces dernières années de révolutionner le design aérodynamique. Nous présenterons le code Aether utilisé pour résoudre les Equations de Navier-Stokes compressible. Il s’appuie sur des maillages non-structurés et une formulation originale aux Eléments Finis stabilisés qui assure une grande cohérence entre la modélisation physique et les ingrédients numériques. De nombreux exemples seront présentés couvrant une large gamme de vitesses, des écoulements stationnaires et instationnaires, ainsi que des applications en aéroacoustique et en optimisation de forme.

Frédéric Magoulès (École Centrale Paris) Ecouter le Passé

Les petits déplacements d’un fluide sur une paroi ou les turbulences d’un écoulement d’un fluide sont à l’origine d’un changement de pression, ce dernier engendrant un niveau sonore. L’étude de ces phénomènes acoustiques, dont les propriétés impliquent plusieurs contraintes numériques, nécessite le développement de nouvelles méthodes mathématiques et algorithmes associés. Les méthodes de discrétisation par éléments finis stabilisés permettent par exemple de réduire le nombre d'inconnues du problème à traiter. Les méthodes numériques de résolution par décomposition de domaines (en temps et/ou en espace) sont bien adaptées au calcul parallèle. En effet, la division d'un problème en plusieurs petits sous-problèmes, est un moyen naturel d'introduire le parallélisme. Toutefois ces méthodes ne peuvent être utilisées de manière optimale sur les machines actuelles possédant plusieurs centaines de milliers de processeurs. Cet exposé présente quelques avancées dans le domaine du calcul à haute performance pour l’étude des phénomènes acoustiques, et montre notamment, comment les méthodes de décomposition de domaines ont évolué au cours des années, conjointement avec les méthodes numériques. Dans cette conférence, des exemples d’acoustique musicale dans une église médiévale, seront présentés pour illustrer l’efficacité de ces méthodes.

François Dubois (Univ. Paris-Sud/CNAM) Ces curieux schémas de Boltzmann sur réseau

Les schémas de Boltzmann sur réseau sont issu d’une part des modèles classiques de la cinétique des gaz (équation de Boltzmann) et d’autre part des approches informatiques pour les systèmes dynamiques discrets (automates cellulaires). Ils ont émergé dans les laboratoires de physique au cours des années 1980. Leur mise en œuvre est a priori très élémentaire grâce à l’emploi d’un schéma explicite en temps sur une grille cartésienne. Mais toute une série de paramètres doivent être réglés avec soin afin de garantir le succès d’une simulation numérique. Ainsi, les schémas de Boltzmann sur réseau peuvent aujourd’hui simuler toutes sortes d’équations aux dérivées partielles classiques de la physique mathématique : advection-diffusion, acoustique, mécanique des fluides, etc. Et l’emploi du calcul formel est parfois indispensable pour améliorer les performances de l’approche numérique !

Vincent Moureau (CORIA) Le problème du big data en mécanique des fluides

La Simulation aux Grandes Echelles et la Simulation Numérique Directe sont des approches de modélisation instationnaires de plus en plus attractives pour la modélisation des écoulements turbulents en raison du développement constant des super-ordinateurs massivement parallèles. Cette augmentation de la puissance de calcul permet d'améliorer la fidélité des simulations soit en augmentant la résolution de maillage ou le temps physique de la simulation, soit en complexifiant les modèles physiques. Ainsi, de plus en plus de simulations instationnaires traitent plusieurs milliards de degrés de liberté en utilisant plusieurs milliers de processeurs.

L’analyse des simulations dont le maillage atteint le milliard de cellules est difficile car elle nécessite de traiter une grande quantité de données afin d’en extraire les informations pertinentes. Les outils traditionnels de traitement de données ont généralement besoin d’être repensés pour faire face à une telle quantité de données. Ce défi, qui est partagé avec de nombreux autres domaines scientifiques, est souvent désigné comme le défi du “big data”. Les solutions techniques qui sont utilisées pour remédier à ce problème sont bien connues : partitionnement, tri, filtrage, traitement parallèle, … On assiste donc à une forte convergence des techniques mises en œuvre dans la simulation des écoulements turbulents et les outils de traitement liés au “big data”.

Dans cette conférence, des outils d'analyse basés sur l'échantillonnage sélectif et le filtrage d’ordre élevé, et adaptés au post-traitement des simulations aux grandes échelles massivement parallèles, seront présentés. Ces techniques seront appliquées à l’extraction de structures cohérentes dans des géométries complexes telles que le Precessing Vortex Core, qui joue un rôle important dans la dynamique des écoulements en giration.

Gaël Octavia (FSMP) Navier-Stokes pour tous

Comment rendre accessible au grand public un thème de recherche mathématique actuel ? Dans la bande dessinée l'Equation du millénaire, le lecteur est invité à découvrir les équations de Navier-Stokes, mais aussi les personnages historiques qui s'y sont intéressés, les problèmes concrets qui leur sont associés, les questions mathématiques qu'elles suscitent… L'exposé retracera la genèse de cette bande dessinée, en présentant les objectifs de ses auteurs, leurs choix d'écriture (angle historique, choix des personnages…), les problèmes posés lors de l'élaboration du scénario (comment raconter l'abstraction mathématique ?), l'utilisation du support image… A travers cet exemple, on abordera plus généralement la question de la vulgarisation des mathématiques, de ses possibilités et de ses limites, de l'ambition poursuivie par le vulgarisateur.

public/seminaires/seminaire-2014-03-12.txt · Dernière modification: 2015/07/23 16:05 par thle
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