Je montrerai que les topos de Grothendieck, la logique géométrique et les topos relatifs offrent un cadre conceptuel et formel idéal pour structurer le développement de l’intelligence artificielle générale. Ces outils permettent de penser l’information non plus comme un simple ensemble de données, mais comme une structure sémantique organisée par invariants, niveaux d’abstraction et relations internes – exactement les ingrédients qui caractérisent l’intelligence humaine.

L’approche topossique permet ainsi de dépasser les limites des fondements actuels de l’IA, basés sur des représentations essentiellement numériques. Les topos classifiants capturent le « noyau sémantique » d’une théorie indépendamment de ses présentations, et les ponts topossiques permettent de transférer propriétés, structures et méthodes entre descriptions hétérogènes. Cette capacité à relier des points de vue différents, à changer de base conceptuelle et à faire émerger des invariants constitue l’un des aspects clés de ce qui manque aujourd’hui aux systèmes d’apprentissage artificiels.

Nous verrons ensuite comment la logique géométrique et les théories relatives permettent de modéliser la connaissance sous forme stratifiée. Elles rendent possible une organisation hiérarchique des vocabulaires – du plus concret au plus abstrait – tout en préservant des propriétés essentielles de calcul, de preuve et d’interprétation. Cette stratification reflète la manière dont l’intelligence humaine apprend : en construisant des niveaux successifs de compréhension, chacun défini sur les précédents, et en opérant des changements de base qui simplifient localement les problèmes tout en enrichissant globalement la structure.

Pour illustrer ces idées, nous analyserons en détail le cas des matrices de Raven. Nous distinguerons quatre niveaux – structure interne, cellules, lignes, matrices – et nous montrerons comment les régularités pertinentes peuvent être exprimées comme des invariances formulées dans un langage géométrique adapté. Cette formalisation permet non seulement de guider l’apprentissage en réduisant drastiquement l’espace des paramètres à explorer, mais aussi de rendre les raisonnements explicables et formellement vérifiables. Nous discuterons enfin de l’intégration possible avec le deep learning et les grands modèles de langage, notamment via des mécanismes de « lifting » des invariances empiriques vers des séquents géométriques.

Olivia Caramello a obtenu une licence de mathématiques à l’Université de Turin ainsi qu’un diplôme de piano à l’âge de 19 ans, avant de poursuivre un doctorat en mathématiques au Trinity College de Cambridge. Elle a ensuite mené des travaux de recherche dans plusieurs institutions de premier plan : l’Université de Cambridge, la Scuola Normale Superiore de Pise, le Max-Planck-Institut für Mathematik de Bonn, l’Université Paris 7 et l’Institut des Hautes Études Scientifiques (IHES), où elle a occupé la chaire Gelfand entre 2020 et 2023. Lauréate en 2017 du concours « Rita Levi Montalcini » du Ministère italien de l’Éducation, de l’Université et de la Recherche, elle est aujourd’hui professeure à l’Université de l’Insubrie à Côme, et affiliée à l’École des Mines de Paris ainsi qu’à l’Université Paris-Saclay.
Caramello est particulièrement connue pour avoir introduit et développé la théorie unificatrice des « ponts » topossiques, présentée dans son livre Theories, Sites, Toposes: Relating and studying mathematical theories through topos-theoretic “bridges” (Oxford University Press, 2017). Cette approche novatrice exploite l’existence de représentations multiples d’un même topos pour établir des correspondances profondes entre des domaines mathématiques a priori éloignés, offrant un cadre conceptuel puissant pour faire émerger des analogies, transférer des résultats et révéler des structures cachées.
Depuis mars 2022, elle préside l’Institut Grothendieck, une fondation dédiée au développement et à la diffusion des mathématiques grothendieckiennes – en particulier la théorie des topos – dans une perspective unificatrice, interdisciplinaire et ouverte vers de nouveaux champs d’application.

Patrick PIRIM : Directeur scientifique chez Anotherbrain.ai
Diplômé de l’ENSEA en 1977 .

En 1986, commence l’aventure autodidacte avec la création d’une SARL Imapply, convaincu que comprendre les solutions techniques de l’évolution simplifieraient la création de produits.

Je créée un attracteur dynamique qui se veut un traducteur universel de données en représentations sémantiques, il va être utilisé durant les 40 années suivantes, avec son intégration temporelle dans 7 circuits ASIC et un certain nombre de brevets associés concernant la perception du mouvement et des formes dans diverses applications outdoor, temps réel, et ce toujours avec l’intégration dans l’ASIC d’un µP 8bits n’excédant pas 27 MHz et d’une mémoire 16 KB contenant le programme applicatif, d’où l’efficience des produits.

Je migre naturellement vers le bio-inspiré avec un important contact académique qui se traduit par une participation active dans les GDR Biocomp, Robotique et électronique.

Aujourd’hui, après 9 ans dans la société Anotherbrain, j’ai mis en œuvre un  procédé visant à l’unification fonctionnelle des différentes taches perceptives et leur compréhension en vue de reconstituer une colonne corticale, l’outil générique du cortex.

Les progrès récents de l’intelligence artificielle marquent une transition de l’IA générative simple (LLMs) vers des systèmes plus autonomes, capables de raisonnement complexe et d’intégration multisensorielle. L’émergence de modèles comme Claude 4.1 ou les versions avancées de GPT-5 d’OpenAI montre une capacité accrue à résoudre des problèmes logiques complexes grâce à des processus de réflexion interne plus longs. De plus, les IA ne se contentent plus de traiter du texte ou des images séparément. Elles intègrent désormais l’audio, la vidéo et les données sensorielles en temps réel, permettant une interaction beaucoup plus fluide et naturelle. En même temps, nous assistons au passage des chatbots aux « agents » capables d’exécuter des tâches complexes de bout en bout de manière autonome. Cependant, l’un des problèmes les plus importants posés par ces modèles reste leur consommation énergétique. Une seule requête d’un modèle tel que GPT-5 consomme en moyenne 3 Wh et poser une question complexe à un modèle de pointe consomme l’équivalent d’une ampoule LED allumée durant 3 heures. Cette année, la demande énergétique des centres de données pour l’IA devrait atteindre 2% de toute l’électricité mondiale consommée (un seul grand data center a besoin de l’équivalent de cinq tranches nucléaires). Comment arrêter ce processus ?

Des axes de recherche proposent des pistes très intéressantes pour obtenir des modèles beaucoup plus sobres. Ils sont essentiellement basés sur des approches structurelles à la fois topologiques et algébriques. Je montrerai, à travers plusieurs exemples, comment arriver à des modèles beaucoup plus sobres, capables de mieux généraliser, grâce à une approche modulaire et structurée utilisant les topos de Gothendieck comme guide.

Jean-Claude Belfiore est diplomé de Supelec, docteur de Telecom Paris est a reçu l’Habilitation à diriger des Recherches de l’Université Pierre et Marie Curie. Il a été professeur à Telecom Paris jusqu’en 2015, date à laquelle il a rejoint le centre de recherche parisien de Huawei. Depuis 2021, il dirige le laboratoire AWT de Huawei à Paris. En tant que professeur à Telecom Paris, il a fait des avancées importantes en modulation et codage pour les systèmes de communication sans fil en utilisant des outils issus de l’arithmétique. Il est, par exemple, l’un des inventeurs du « Golden Code » standardisé dans WiMax. Il est auteur ou co-auteur de plus de 200 publications et a dirigé plus de trente thèses de doctorat. Il a été éditeur associé, pour le codage, de la revue « IEEE Transactions on Information Theory » et a reçu la médaille Blondel en 2007. Au sein de Huawei, il a été l’un des artisans de la standardisation des codes polaires pour la 5G et travaille depuis sur la 6G en promouvant l’IA sans fil, les communications sémantiques et l’apprentissage structuré.

De même que la notion classique d’espace se généralise en celle de topos de Grothendieck, la notion classique de sous-espace se généralise en celle de sous-topos.

Une notion tellement bien pensée que les sous-topos admettent un double type de présentations concrètes équivalentes, les unes en termes de topologies dues à Grothendieck, les autres en termes de systèmes d’axiomes considérés à équivalence démontrable près, selon un théorème d’Olivia Caramello.

Cette double équivalence permet en particulier de retraduire et d’étudier en termes topologiques tous les problèmes de démontrabilité en logique géométrique du premier ordre, et donc finalement tous les problèmes de démontrabilité en mathématiques.

D’autre part, les opérations géométriques naturelles sur les sous-espaces ou les sous-topos définissent via ces équivalences des opérations sur les topologies ou sur les systèmes d’axiomes qui se prêtent à des calculs approchés.

Ces opérations, qui ne sont ni plus ni moins abstraites que les opérations numériques classiques mais sont bien plus générales, peuvent servir à construire des « réseaux de neurones profonds topossiques ».

Laurent Lafforgue est un mathématicien. Il a reçu la médaille Fields en 2002 pour sa contribution à un grand programme proposé dans les années 1960 par le mathématicien canadien Robert Langlands pour relier deux parties des mathématiques a priori très éloignées, l’une algébrique qui remonte à Evariste Galois et l’autre analytique dont l’un des pères fut Henri Poincaré. Le lien entre ces théories s’établit par un pont géométrique auquel s’appliquent des techniques extraordinairement puissantes dues à Alexandre Grothendieck.
Depuis plus de dix ans, le principal intérêt de Laurent Lafforgue s’est progressivement tourné vers la théorie des « topos de Grothendieck », qui permet une vaste géométrisation des mathématiques.
Il a rejoint Huawei en 2021. Au Centre Lagrange à Paris, il collabore d’une part avec des scientifiques du monde universitaire et d’autre part avec des chercheurs de Huawei. Il travaille sur le développement de la théorie des topos, plus précisément sur la théorie des « topos comme ponts » d’Olivia Caramello, et sur l’élaboration de nouvelles formes d’intelligence artificielle basées sur celle-ci.

Diplômé de Science Po Paris et titulaire d’une maîtrise d’histoire, Sylvain Allemand suit depuis plus vingt ans l’actualité de la recherche, des initiatives et des débats relatifs au développement durable auquel il a consacré plusieurs ouvrages.

Il a rejoint l’EPA Paris-Saclay en 2012 pour y animer le site web Paris-Saclay Le Média qui avait vocation à rendre compte de la «sociodiversité » de l’écosystème à travers notamment des entretiens avec « celles et ceux qui font Paris-Saclay » : enseignants-chercheurs, étudiants, entrepreneurs, agriculteurs, artistes…

Il rend compte désormais de son actualité à travers le présent site.

Après un doctorat en systèmes distribués, portant sur l’ordonnancement et la tolérance aux pannes, j’ai évolué pendant treize ans dans l’industrie.
Chez Stellantis, j’ai contribué au développement de systèmes de stockage et de réseaux pour des datacenters hyperscale. À partir de 2018, j’ai dirigé des équipes d’infrastructure en charge des opérations réseau sur deux datacenters, ainsi que des équipes logicielles distribuées à l’échelle mondiale, développant des services connectés pour les véhicules.

En 2024, j’ai rejoint Hivenet en tant que Directeur de la Recherche. J’y pilote la stratégie scientifique autour du calcul et du stockage distribués à très grande échelle, en lien étroit avec les équipes produit et infrastructure. Mon rôle consiste notamment à transformer des verrous de recherche (résilience, orchestration, performance, passage à l’échelle) en solutions concrètes, tout en structurant des collaborations académiques, notamment avec Inria, et en contribuant à l’émergence de nouvelles architectures distribuées.

Martin Gonzalez est le référent scientifique de l’équipe Sciences de Données et IA chez IRT SystemX et membre scientifique de l’Association Européenne pour l’IA de Confiance (ETAIA). Docteur en mathématiques pures, ses travaux antérieurs portent sur l’algèbre quantique, la géométrie algébrique et différentielle, et la géométrisation de la physique mathématique.

Ses recherches interdisciplinaires couvrent la musique contemporaine, la philosophie et l’intelligence artificielle, avec un intérêt particulier pour l’intersection entre la théorie des topos et la philosophie hégélienne. Il organise le séminaire MAMUPHI sur les mathématiques, la musique et la philosophie depuis une dizaine d’années.

Ses recherches sur les équations différentielles neuronales, menées notamment avec le professeur Nader Masmoudi, lui ont valu le premier prix de l’innovation scientifique du programme Confiance.ai. Il a ainsi développé des outils désormais opérationnels dans les usines d’Air Liquide sur plusieurs continents.